Hilfreiche Ratschläge

Satz des Pythagoras

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Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer Formel, die bis heute verwendet wird. Der Satz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist: a 2 + b 2 = c 2 , wo a und b die Beine des Dreiecks sind (Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden), ist c die Hypotenuse des Dreiecks. Das pythagoreische Theorem ist in vielen Fällen anwendbar. Mit diesem Theorem ist es beispielsweise einfach, den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Koordinatenebene zu finden.

Unterrichtspräsentation

Achtung! Die Folienvorschau wird nur zu Informationszwecken verwendet und gibt möglicherweise keinen Überblick über alle Präsentationsfunktionen. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Unterrichtsziel: das Studium des Satzes von Pythagoras und seine Anwendung.

Aufgaben:

  • Einführung in das Leben von Pythagoras, seiner Schule.
  • Beweisen Sie den Satz und zeigen Sie verschiedene Beweismethoden auf.
  • Zeigen Sie die Anwendung des Satzes im Leben
    (Flash-Projekte von Studenten).
  • Entwicklung des logischen Denkens, der Unabhängigkeit und der Vorstellungskraft der Schüler.
  • Das Interesse am Thema erhalten.

Ausrüstung und Materialien: Multimedia-Projektor, PC, Lehrbuch, Handout, Präsentation für den Unterricht und Flash-Projekte der Studenten.
Die Besonderheit des Unterrichts ist, dass er auf Flash-Projekten von Studenten basiert, die den PC verwenden.

„Ja, der Weg des Wissens ist nicht glatt.
Aber wir wissen aus den Schuljahren,
Es gibt mehr Rätsel als Hinweise
Und der Suche sind keine Grenzen gesetzt! “

1. Pythagoras von Samos und die Geschichte des Beweises des Theorems (5 Min.) (Folien 5-9)

Der berühmte griechische Philosoph und Mathematiker Pythagoras von Samos, dessen Name Theorem genannt wird, lebte vor etwa 2,5 Tausend Jahren. Die biografischen Informationen über Pythagoras, die uns erreicht haben, sind fragmentarisch und alles andere als zuverlässig. Mit seinem Namen sind viele Legenden verbunden.
Es ist sicher bekannt, dass Pythagoras viel in den Ländern des Ostens gereist ist, Ägypten, Indien und Babylon besucht, die alte Kultur und Errungenschaften der Wissenschaft in verschiedenen Ländern studiert hat. Nach seiner Rückkehr in seine Heimat organisierte Pythagoras einen Jugendkreis aus Vertretern der Aristokratie, in den sie nach langen Prüfungen mit großen Zeremonien aufgenommen wurden.
Als Ergebnis der ersten Vorlesung erwarb Pythagoras 2.000 Schüler, die nicht nach Hause zurückkehrten, und bildete zusammen mit ihren Frauen und Kindern eine riesige Schule. Das pythagoreische Theorem und die pythagoreische Schule bewundern die Menschheit im Laufe der Geschichte. Sie widmen sich Gedichten, Liedern, Zeichnungen und Gemälden. So ist der Künstler F.A. Bronnikov (1827-1902) malte das Gemälde "Pythagoreische Hymne an die aufgehende Sonne"
Eine Briefmarke wurde in Griechenland anlässlich der Umbenennung der Insel Samos in die Insel Pythagoreion herausgegeben.
Auf der Briefmarke befindet sich die Inschrift: „Satz von Pythagoras. Ellas. 350 Drams. "
Diese wunderschöne Marke ist fast die einzige unter vielen tausend existierenden, die eine mathematische Tatsache darstellt Pythagoras - Dies ist kein Name, sondern ein Spitzname, den der Philosoph erhielt, weil er immer richtig und überzeugend sprach, wie das griechische Orakel. (Pythagoras - "mit einer Rede überzeugen.")
Es gibt eine Legende, die besagt, dass Pythagoras, nachdem er sein berühmtes Theorem bewiesen hat, den Göttern einen Stier und anderen Quellen zufolge sogar 100 Stiere geopfert hat.

2. Verschiedene Formulierungen des Satzes von Pythagoras, übersetzt aus dem Griechischen, Lateinischen und Deutschen (3 Min.) (Folien 10-16)

In Euklid heißt es in diesem Satz (wörtliche Übersetzung):
"In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das über einen rechten Winkel gestreckte Quadrat der Seite den Quadraten an den Seiten, die einen rechten Winkel einschließen."

Die lateinische Übersetzung des arabischen Textes von Annairitzi (um 900 v. Chr.) Von Gerhard von Cremona (frühes 12. Jahrhundert) ins Russische lautet:
"In jedem rechtwinkligen Dreieck entspricht ein Quadrat auf einer Seite, die über einen rechten Winkel gespannt ist, der Summe von zwei Quadraten auf zwei Seiten, die einen rechten Winkel einschließen."
In Geometria Culmonensis (um 1400) lautet der Satz wie folgt:
Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so groß ist auch, dass bei beiden Vierecke, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. Übersetzt heißt das:
"Also ist die Fläche des Quadrats, gemessen entlang der langen Seite, so groß wie die beiden Quadrate, die an zwei Seiten gemessen werden, neben dem rechten Winkel."
Die moderne Formulierung des pythagoreischen Theorems "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine."

3. Beweis des Satzes von Pythagoras (5 Min.) (Folien 17-20)

Beweis:

1. (a + b) 2 = 4S+ c 2
2. 4S= 4 · 1/2 ab = 2 ab
3. aber 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2
4. aber 2 + b 2 = c 2

Die Schüler des Mittelalters hielten den Beweis des Satzes von Pythagoras für sehr schwierig und nannten ihn Dons asinorum - Eselbrückeoder elefuga - der flug der "elenden" da einige "elende" Studenten, die keine ernsthafte mathematische Ausbildung hatten, aus der Geometrie flohen. Schwache Studenten, die sich Theoreme auswendig lernten, ohne sie zu verstehen, und von ihnen "Esel" genannt wurden, konnten den Satz von Pythagoras, der ihnen als unwiderstehliche Brücke diente, nicht überwinden.

4. Beispiele für verschiedene Methoden zum Beweisen des Theorems (5 Min.) (Folien 21-29)

Seit der Antike haben Mathematiker immer mehr Beweise für den Satz des Pythagoras gefunden, immer neue Ideen für seine Beweise. Solche Beweise - mehr oder weniger streng, mehr oder weniger offensichtlich - sind seit mehr als anderthalbhundert bekannt (nach anderen Quellen mehr als fünfhundert), aber der Wunsch, ihre Zahl zu erhöhen, ist geblieben. Daher ist der Satz von Pythagoras im Guinness-Buch der Rekorde aufgeführt.

  • Alte chinesische Beweise.
  • Beweis von Euklid.
  • Waldheim Proof
  • Hawkins Beweis.
  • Gutheils Beweis.
  • Beweis von Perigal.
  • Beweis basierend auf der Ähnlichkeitstheorie.
  • Löcher des Hippokrates.
  • Chinesische Beweise, 1670
  • Beweis aus den Werken von Bhaskara.
  • Der Beweis ist ein Modell (Video).

5. Beispiele für die Anwendung des Satzes von Pythagoras in der Praxis (18 Min.) (Folien 30-31)

Pythagoras ist insofern bemerkenswert, als es einfach, aber nicht offensichtlich ist. Diese Kombination von zwei widersprüchlichen Prinzipien und gibt ihm eine besondere Anziehungskraft, macht es schön. Darüber hinaus ist der Satz von Pythagoras von großer praktischer Bedeutung: Er wird bei jedem Schritt in der Geometrie angewendet. Der Satz von Pythagoras ist einer der wichtigsten Sätze der Geometrie. Die meisten Theoreme können aus oder mit ihrer Hilfe abgeleitet werden. Der Satz

  • in der Planimetrie
  • in Stereometrie
  • in der Architektur
  • im bau
  • in der Physik
  • in der Astronomie
  • in der Literatur

In der Planimetrie:

1. Platz mit der Seite aber und diagonal d.

Betrachten Sie die Anwendung des Satzes von Pythagoras, um die Diagonale eines Quadrats mit Seite zu finden aber.
Nach dem Satz von Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse dann gleich der Summe der Quadrate der Beine d 2 = a 2 + a 2 von: d 2 = 2a 2 d = aber 2

2. Die Diagonale d des Rechtecks ​​mit den Seiten a und b wird ähnlich wie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beinen berechnet a und b.
Nach dem Satz von Pythagoras: d 2 = a 2 + b 2

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Diagonale eines Rechtecks ​​mit Seiten von 5 cm und 12 cm.

3. Höhe h gleichseitiges Dreieck mit Seite aber kann als Bein eines rechtwinkligen Dreiecks angesehen werden, dessen Hypotenuse aberund noch ein Kathet a/ 2. Also nach dem Satz von Pythagoras

aber 2 = h 2 + (1/2a) 2
h 2 = a 2 – (1/2a) 2 h = 1/2a3

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Höhenlänge in einem gleichseitigen Dreieck mit einer Seite von 4 cm.

In der Stereometrie:

Berechnung der Diagonallänge eines Quaders

In der Architektur:

In Gebäuden im gotischen und romanischen Stil sind die oberen Teile der Fenster durch Steinrippen unterteilt, die nicht nur die Rolle eines Schmuckstücks spielen, sondern auch zur Festigkeit der Fenster beitragen. Die Abbildung zeigt ein einfaches Beispiel eines solchen Fensters im gotischen Stil.
Der Aufbau ist sehr einfach: Aus der Abbildung lassen sich leicht die Mittelpunkte von sechs Kreisbögen ermitteln, deren Radien der Breite des Fensters entsprechen (b) für Außenbögen und halbe Breite (b/ 2) für interne Lichtbögen. Es bleibt ein vollständiger Kreis, der die vier Bögen berührt. Da es zwischen zwei konzentrischen Kreisen eingeschlossen ist, ist sein Durchmesser gleich dem Abstand zwischen diesen Kreisen, d.h. b/ 2 und daher ist der Radius b/ 4. Und dann wird die Position seines Zentrums klar. Im betrachteten Beispiel waren die Radien ohne Schwierigkeiten. In anderen ähnlichen Beispielen sind möglicherweise Berechnungen erforderlich, und wir zeigen, wie der Satz von Pythagoras bei solchen Problemen angewendet wird.
In der romanischen Architektur findet sich häufig das in der Figur dargestellte Motiv. Wenn b bezeichnet immer noch die Breite des Fensters, dann sind die Radien der Halbkreise gleich R = b/ 2 und r = b/ 4. Radius p Der innere Kreis kann aus dem in Abb. 2 gezeigten rechten Dreieck berechnet werden. gepunktete Linie. Die Hypotenuse dieses Dreiecks, das durch den Tangentenpunkt der Kreise verläuft, ist b/4 + pEin Bein ist gleich b/ 4 und der andere b/2 – p.
Nach dem Satz von Pythagoras haben wir: (b/4 + p) 2 = (b/4) 2 + (b/2 – p) 2
Nachdem diese Gleichung gelöst wurde, ist es einfach, den Radius des inneren Kreises zu finden p = b/6

Im Aufbau:

Vielleicht wird jemand die Anwendung des pythagoreischen Theorems als rein theoretisch betrachten. Aber das ist nicht so. Betrachten wir beispielsweise ein dreieckiges Prisma als Dach eines Turms, so geht es in unserer ersten Frage darum, wie lange Seitenrippen erforderlich sind, damit die vorgeschriebene Dachhöhe in einem bestimmten Bereich des Dachbodens eingehalten wird. Beachten Sie, dass die Berechnung der Dachfläche erheblich vereinfacht werden kann, wenn Sie eine sehr einfache Regel verwenden, die in allen Fällen gültig ist, in denen alle Dachneigungen, egal wie viele es gibt, dieselbe Neigung haben. Es lautet:
Um die Oberfläche eines Satteldachs zu ermitteln, dessen Neigungen alle gleich sind, müssen Sie die Dachfläche multiplizieren Sh auf die Länge der Sparren und durch die halbe Breite des Hauses teilen.
Beispielsweise werden beim Bau einer beliebigen Struktur Abstände, Schwerpunkte, Platzierungen von Stützen, Trägern usw. berechnet. Im Allgemeinen ist die Bedeutung des Satzes, abgesehen von den oben genannten, dass er in fast allen modernen Technologien verwendet wird und auch Raum für die Schaffung und Erfindung neuer Technologien eröffnet.

In der Physik:

Blitzableiter, Blitzableiter, ein Gerät zum Schutz von Gebäuden, Industrie, Verkehr, Versorgung, Landwirtschaft. und andere Strukturen von Blitzeinschlägen.
Es ist bekannt, dass ein Blitzableiter alle Objekte vor Blitzen schützt, deren Abstand von der Basis die doppelte Höhe nicht überschreitet. Es ist notwendig, die optimale Position des Blitzableiters auf einem Satteldach zu bestimmen, um die niedrigste verfügbare Höhe sicherzustellen.

  • Nach dem Satz von Pythagoras h 2 >a 2 + b 2 ,
  • gemein h>a 2 + b 2

In der Astronomie:

Am Ende des neunzehnten Jahrhunderts wurden verschiedene Annahmen über die Existenz der Bewohner des Mars wie Menschen gemacht. Dies war das Ergebnis der Entdeckungen des italienischen Astronomen Schiaparelli (er entdeckte Kanäle auf dem Mars, die lange als künstlich galten) und anderer. Die Frage, ob Lichtsignale für diese hypothetischen Kreaturen erklärt werden konnten, löste natürlich eine lebhafte Diskussion aus. Die Pariser Akademie der Wissenschaften hat sogar einen Preis von 100.000 Franken vergeben, um zum ersten Mal Kontakt mit einem Bewohner eines anderen Himmelskörpers aufzunehmen. Diese Auszeichnung wartet noch auf einen glücklichen. Als Scherz, obwohl nicht völlig unbegründet, wurde beschlossen, den Bewohnern des Mars das Lichtsignal in Form des Satzes von Pythagoras zu übermitteln.
Es ist nicht bekannt, wie man das macht, aber es ist jedem klar, dass die mathematische Tatsache, die durch den Satz des Pythagoras ausgedrückt wird, überall vorkommt und daher sollten Bewohner einer anderen Welt wie wir ein solches Signal verstehen.

In der Literatur:

Viele, die den Namen Pythagoras tragen, erinnern sich an seinen Satz, aber nur wenige wissen, dass er nicht nur mit der Mathematik, sondern auch mit der Literatur verwandt war.
Der große Mathematiker war auch ein großer Philosoph seiner Zeit.
Hier sind einige seiner Aussagen:

  • Wenn du großartig machst, verspreche nicht großartig.
  • Egal wie kurz die Wörter "Ja" und "Nein" sind, sie erfordern immer noch die ernsthafteste Reflexion.
  • Tue nichts Schändliches, weder in Gegenwart noch im Verborgenen.
  • Dein erstes Gesetz sollte Selbstachtung sein
  • Schließen Sie nicht Ihre Augen, wenn Sie schlafen möchten, ohne all Ihre Handlungen im Laufe des letzten Tages zu verstehen.
  • Geh nicht auf den Feldweg.

Der Satz von Pythagoras ist in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, der Technologie und des praktischen Lebens seit langem weit verbreitet.
Der römische Architekt und Ingenieur Vitruvius, ein griechischer Moralschreiber oder Plutarch, ein griechischer Wissenschaftler des 3. Jahrhunderts, schrieb in seinen Werken über sie. Diogenes Laertius, Mathematiker des 5. Jahrhunderts Proclus und viele andere.
Die Legende, dass Pythagoras zu Ehren seiner Entdeckung einen Stier oder, wie andere sagen, hundert Stiere opferte, diente als Grund für Humor in den Geschichten von Schriftstellern und in Gedichten von Dichtern. So zum Beispiel der deutsche Schriftsteller A. Chamisso, der zu Beginn des 19. Jahrhunderts. an einer Weltreise auf dem russischen Schiff "Rurik" teilgenommen, schrieb die folgenden Verse:

Wahrheit sei ewig, wie schnell
Eine schwache Person kennt sie!
Und jetzt der Satz von Pythagoras
Stimmt, wie in seinem fernen Alter.
Das Opfer war reichlich
Zu den Göttern aus Pythagoras. Einhundert Bullen
Er gab für einen Zauber und ein Brennen weg
Hinter dem Licht ein Strahl aus den Wolken.
Deshalb immer da
Eine kleine Wahrheit ist geboren
Die Bullen brüllen und spüren sie hinter sich her.
Sie können das Licht nicht stören.
Und sie können nur mit geschlossenen Augen zittern
Aus Angst, dass Pythagoras in sie eingeflößt hat.

6. Die Legende vom Tod von Pythagoras

Die schläfrige Stille der Nacht Metapont wurde von einem schrecklichen Schrei durchschnitten. Es fiel ein schwerer Körper zu Boden, das Klappern von weglaufenden Beinen, und alles verstummte. Als der Nachtwächter im flackernden Licht der Fackeln am Tatort ankam, sah jeder einen alten Mann auf dem Boden ausgebreitet, und nicht weit von ihm entfernt war ein Junge 12 mit einem vor Entsetzen verzerrten Gesicht.
- Wer ist das? - der Chef der Wache hat den Jungen gefragt
"Das ist Pythagoras", antwortete er.
- Wer ist Pythagoras? Unter den Einwohnern der Stadt gibt es keinen Bürger mit diesem Namen.
- Wir sind vor kurzem aus Croton angekommen. Mein Herr musste sich vor Feinden verstecken und ging nur nachts. Sie haben ihn aufgespürt und getötet.
- Wie viele waren da?
- Ich hatte keine Zeit, das im Dunkeln zu bemerken. Sie warfen mich beiseite und stürzten sich auf ihn. Der Wärter des Wächters kniete nieder und legte seine Hände auf die Brust des Ältesten.
"Das Ende", sagte der Chef.
"Der Verstand allein sollte als weiser Wächter mit seinem Leben betraut werden."

7. Die Lektion zusammenfassen. Test (3 min)

Die Schüler beantworten Fragen:

  • Jetzt habe ich herausgefunden, dass ...
  • Jetzt kann ich ...
  • Ich habe nicht verstanden, wie ...
  • Das wusste ich nicht ...
  • Jetzt weiß ich das

Test: (Folien 32-34)

- Auf welche Dreiecke kann der Satz des Pythagoras angewendet werden?

Wählen Sie die richtige Formulierung des Satzes von Pythagoras:

  1. In einem Dreieck entspricht das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der Beine.
  2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse die Summe der Beine.
  3. In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Hypotenuse der Summe der Quadrate der Beine.
  4. In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine.

- Stimmt es, dass in einem rechtwinkligen Dreieck eines der Beine kleiner ist als die Hypotenuse?

8. Hausaufgaben (1 Min.) (Folien 35-37)

  1. Lernen Sie die Aussage des Satzes
  2. Den Satz des Pythagoras beweisen können
  3. Lerne ein Gedicht

Handout:

Wenn uns ein Dreieck gegeben wird
Und außerdem mit einem rechten Winkel,
Das ist das Quadrat der Hypotenuse
Wir werden immer leicht finden:
Wir richten die Beine aus,
Die Summe der Grade, die wir finden -
Und so einfach
Wir werden zum Ergebnis kommen.

Inhalt

Nach Angaben des Mathematikhistorikers Moritz Kantor handelte es sich im alten Ägypten zur Zeit des Königs Amenemhat I. (um das XXIII. Jahrhundert v. Chr.) Um ein rechteckiges Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 - es wurde von den Harpedonapten verwendet - „Seilspanner“. Im alten babylonischen Text aus der Zeit Hammurabis (20. Jahrhundert v. Chr.) Wird eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse angegeben. Laut van der Waerden ist es sehr wahrscheinlich, dass die allgemeine Beziehung in Babylon bereits um das 18. Jahrhundert vor Christus bekannt war. e.

In dem alten chinesischen Buch "Zhou bi xuan jing", das der Periode von V - III Jahrhunderten v. Chr. Zugeschrieben wird. es gibt ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5, außerdem kann das Bild als eine grafische Begründung der Beziehung des Theorems interpretiert werden. In der chinesischen Aufgabensammlung "Mathematik in neun Büchern" (X - II Jh. V. Chr.) Ist ein eigenes Buch der Anwendung des Theorems gewidmet.

Es ist allgemein anerkannt, dass der Beweis der Korrelation vom antiken griechischen Philosophen Pythagoras (570-490 v. Chr.) Erbracht wurde. Es gibt Hinweise auf Proclus (412-485 n. Chr.), Dass Pythagoras algebraische Methoden verwendete, um die pythagoreischen Tripel zu finden [⇨], aber es gab keine direkten Hinweise auf den Beweis seiner Urheberschaft für fünf Jahrhunderte nach dem Tod von Pythagoras. Wenn jedoch Autoren wie Plutarch und Cicero über den Satz von Pythagoras schreiben, folgt aus dem Inhalt, dass die Urheberschaft von Pythagoras bekannt und sicher ist. Es gibt eine Legende, die von Diogenes von Laertes berichtet wird, wonach Pythagoras die Entdeckung seines Satzes angeblich mit einem riesigen Fest gefeiert hat, nachdem er vor Freude hundert Stiere gesungen hat.

Um 400 v.Chr Nach Proclus gab Platon eine Methode zum Auffinden der pythagoreischen Tripel an, die Algebra und Geometrie kombinieren. Um 300 v.Chr e. in den "Anfängen" von Euklid erschien der älteste axiomatische Beweis des Satzes von Pythagoras.

Die Hauptformulierung enthält algebraische Aktionen - in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Beine a < displaystyle a> und b < displaystyle b> sind und dessen Länge die Hypotenuse c < displaystyle c> ist, gilt die folgende Beziehung:

Eine äquivalente geometrische Formulierung ist ebenfalls möglich, wobei auf das Konzept der Fläche einer Figur zurückgegriffen wird: In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Fläche eines auf der Hypotenuse konstruierten Quadrats der Summe der Quadrate der auf den Beinen gebauten Quadrate. In dieser Form ist der Satz in den Prinzipien von Euklid formuliert.

In der wissenschaftlichen Literatur sind mindestens 400 Beweise des Satzes von Pythagoras verzeichnet, die sowohl durch den Grundwert für die Geometrie als auch durch die Elementarität des Ergebnisses erklärt werden. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия

  • [⇨] ), метод площадей
  • [⇨] , существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

    Доказательство Евклида Править

    Der klassische Beweis von Euklid zielt darauf ab, die Gleichheit der Flächen zwischen den Rechtecken herzustellen, die sich aus der Zerlegung eines Quadrats über der Hypotenuse aus einer Höhe von einem rechten Winkel mit Quadraten über den Beinen ergeben.

    Der Beweis stellt somit fest, dass die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse, die aus den Rechtecken AHJK und BHJI zusammengesetzt ist, gleich der Summe der Quadrate über den Beinen ist.

    Durch Quadrate ähnlicher Dreiecke

    Der folgende Beweis basiert auf der Tatsache, dass die Flächen solcher Dreiecke als Quadrate der jeweiligen Seiten bezeichnet werden.

    Bereich D B A Bereich A B C = A B 2 B C 2. < displaystyle < frac << text<площадь>>

    Auf die gleiche Weise erhalten wir

    Bereich D A C Bereich A B C = A C 2 B C 2. < displaystyle < frac << text<площадь>>

    Ähnliche geometrische Formen auf drei Seiten

    Eine wichtige geometrische Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras hat Euklid in seinen Anfängen gegeben, indem er von den Quadraten an den Seiten zu den Quadraten beliebig ähnlicher geometrischer Figuren überging: Die Summe der Quadrate solcher auf Katheten konstruierter Figuren entspricht der Fläche einer auf einer Hypotenuse konstruierten ähnlichen Figur.

    Die Hauptidee dieser Verallgemeinerung besteht darin, dass die Fläche einer solchen geometrischen Figur proportional zum Quadrat einer beliebigen linearen Größe und insbesondere zum Quadrat der Länge jeder Seite ist. Für solche Figuren mit den Flächen A, B und C, die auf Beinen mit den Längen a und b und Hypotenuse c aufgebaut sind displaystyle c> dementsprechend lautet die Beziehung:

    Pappes Bereichssatz Edit

    Pappes Flächensatz, der es einem beliebigen Dreieck und beliebigen Parallelogrammen auf seinen beiden Seiten ermöglicht, ein Parallelogramm auf der dritten Seite so zu konstruieren, dass seine Fläche gleich der Summe der Flächen zweier gegebener Parallelogramme ist, kann auch als Verallgemeinerung des Pythagorasatzes betrachtet werden: in dem Fall, in dem das ursprüngliche Dreieck vorliegt Ist rechteckig und die Quadrate sind als Parallelogramme auf den Beinen angegeben, so stellt sich heraus, dass das auf der Hypotenuse konstruierte Quadrat die Bedingungen von Papps Flächensatz erfüllt.

    Mehrdimensionale Verallgemeinerungen Bearbeiten

    Eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Satzes für den dreidimensionalen euklidischen Raum ist der Satz von de Gua: Wenn der Tetraeder einen rechten Winkel hat, dann ist das Quadrat der Fläche der Fläche, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, gleich der Summe der Quadrate der Flächen der anderen drei Flächen. Diese Schlussfolgerung kann auch als „n-dimensionales pythagoreisches Theorem“ für höherdimensionale euklidische Räume verallgemeinert werden - für die Flächen eines orthogonalen n-dimensionalen Simplex mit den Bereichen S 1, ..., S n < displaystyle S_ <1>, Punkte, S_> die orthogonalen Flächen und die gegenüberliegende Fläche mit einer Fläche von S 0 < displaystyle S_ <0 >> die Beziehung ist erfüllt:

    Eine weitere mehrdimensionale Verallgemeinerung ergibt sich aus dem Problem, die quadratische Länge der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds zu bestimmen: Um sie zu berechnen, muss das pythagoreische Theorem zweimal angewendet werden. Dies ergibt die Summe der quadratischen Längen von drei benachbarten Seiten des Parallelepipeds. Im allgemeinen Fall ist die diagonale Länge eines Rechteckkastens mit n < displaystyle n> Dimensionen und benachbarten Seiten mit den Längen a 1, ..., a n < displaystyle a_ <1>, dots, a_> ist:

    Wie im dreidimensionalen Fall ist das Ergebnis eine Folge der konsequenten Anwendung des Pythagoreischen Theorems auf rechtwinklige Dreiecke in senkrechten Ebenen.

    Eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Theorems für den unendlichdimensionalen Raum ist die Parseval-Gleichheit.

    Nichteuklidische Geometrie Bearbeiten

    Der Satz von Pythagoras leitet sich aus den Axiomen der euklidischen Geometrie ab und ist für die nichteuklidische Geometrie ungültig - die Erfüllung des Satzes von Pythagoras entspricht dem Postulat der euklidischen Parallelität.

    In der nichteuklidischen Geometrie muss die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks eine andere Form haben als der Satz von Pythagoras. In der sphärischen Geometrie sind beispielsweise alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den Oktanten der Einheitskugel begrenzen, π / 2 < displaystyle pi / 2>, was dem Satz von Pythagoras widerspricht.

    Darüber hinaus ist der Satz von Pythagoras in hyperbolischer und elliptischer Geometrie gültig, wenn das Erfordernis der Rechteckigkeit des Dreiecks durch die Bedingung ersetzt wird, dass die Summe der beiden Winkel des Dreiecks gleich dem dritten Winkel sein soll.

    Sehen Sie sich das Video an: Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke. Mathe by Daniel Jung (Juni 2022).

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