Hilfreiche Ratschläge

Wie finde ich die Fläche eines Polygons heraus?

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Ziele:

  • training: Unterrichten der Schüler, wie sie mit den von ihnen gewählten Methoden die Fläche eines Polygons finden, um erste Darstellungen zu erhalten
  • Polygon-, Grafik- und Messfähigkeiten,
  • Entwickeln: Entwicklung der mentalen Aktivität von Schülern bei der Durchführung von Aufgaben von der Beobachtung über Berechnungen bis hin zur Aufklärung der Gesetze zur Berechnung der Fläche eines Polygons.
  • Pädagogen: Offenlegung der subjektiven Erfahrungen der Schüler, Förderung von Handlungen, Bestrebungen der Schüler als Grundlage für die Erziehung positiver Persönlichkeitsmerkmale,
  • methodisch: Schaffung von Bedingungen für die Manifestation der kognitiven Aktivität der Schüler.

Unterrichtsfeatures:

  1. Tafelgestaltung: Links die Figuren des Polygons, rechts die leere Leinwand der Tafel für die Aufzeichnung in der Lektion, in der Mitte das Polygon-Rechteck.
  2. Merkblatt „Zur Studie“.
  3. Instrumentation für Lehrer und Schüler (Kreide, Zeiger, Lineal, Arbeitsblatt, Figuren, Whatman, Marker).

Unterrichtsmethode:

  • Über die Interaktion von Lehrern und Schülern - Dialog-Kommunikation,
  • Durch die Methode der Problemlösung - teilweise Suche,
  • Durch die Methode der mentalen Aktivität - (COURT) Entwicklungslernen.

Die Unterrichtsform ist frontal, paarweise, individuell.

Art der Lektion - eine Lektion in der Aufnahme neuer Kenntnisse, Fähigkeiten.

Die Struktur des Unterrichts ist eine schrittweise Vertiefung in das Thema, flexibel, dialogisch.

Lektion

Die Lektion ist schön und bringt Freude, wenn wir denken, zusammenarbeiten. Heute werden wir die Zahlen betrachten, ihre Namen bestimmen, denken, suchen und Lösungen finden. Wir wünschen einander erfolgreiche Arbeit.

Betrachten Sie die Formen (Polygone auf der Tafel).

Sie sind alle zusammen. Warum? Was ist ihr gemeinsames Attribut? (Polygone).

Nennen Sie dieses Polygon (5-Gon, 6-Gon ...)

Vielleicht wissen Sie, wie groß die Fläche eines Polygons ist?

Dann zeige auf eine der Figuren.

(Verallgemeinerung durch den Lehrer: Fläche ist ein Teil der Ebene innerhalb einer geschlossenen geometrischen Figur.)

Im Russischen hat dieses Wort mehrere Bedeutungen.

(Ein Wörterbuchlerner führt Bedeutungen ein.)

  1. Teil des Flugzeugs in einer geschlossenen geometrischen Form.
  2. Großer unbebauter und flacher Platz.
  3. Ein Raum für jeden Zweck.

Welcher der Werte wird in der Mathematik verwendet?

In der Mathematik wird der erste Wert verwendet.

(Es ist ein Stück auf der Tafel).

Ist das ein Polygon? Ja

Benenne die Figur anders. Das Rechteck.

Zeigen Sie die Länge, die Breite.

Wie finde ich die Fläche eines Polygons?

Verwenden Sie die Buchstaben und Zeichen, um die Formel aufzuschreiben.

Wenn unser Rechteck 20 cm lang und 10 cm breit ist. Was ist die Gegend?

Die Fläche beträgt 200 cm 2

Überlegen Sie, wie Sie ein Lineal so anbringen, dass die Figur unterteilt ist in:

  1. Zwei Dreiecke
  2. Zwei Vierecke
  3. Dreieck und Viereck
  4. Dreieck und Fünfeck

Hast du gesehen, aus welchen Teilen die Figur besteht? Und jetzt, im Gegenteil, werden wir das Ganze in Teilen sammeln.

(Teile der Figur liegen auf den Schreibtischen. Kinder stellen daraus ein Rechteck zusammen).

Ziehen Sie aus den Beobachtungen eine Schlussfolgerung.

Die ganze Figur kann in Teile und aus den Teilen zu einem Ganzen geteilt werden.

Auf Dreiecken und Vierecken basierende Häuser bildeten Figuren, Silhouetten. Hier ist was sie haben.

(Demonstration von Zeichnungen, die von Studenten zu Hause angefertigt wurden. Eine der Arbeiten wird analysiert).

Welche Zahlen haben Sie verwendet? Sie haben ein komplexes Polygon.

Festlegen der Trainingsaufgabe.

In der Lektion müssen wir die Frage beantworten: Wie finde ich die Fläche eines komplexen Polygons?

Warum muss eine Person einen Bereich finden?

(Antworten der Kinder und Verallgemeinerung durch den Lehrer).

Das Problem der Gebietsbestimmung ergab sich aus der Praxis.

(Zeigt den Plan des Schulgeländes).

Um eine Schule zu bauen, erstellten sie zunächst einen Plan. Dann wurde das Gebiet in Abschnitte eines bestimmten Gebiets unterteilt, Gebäude, Blumenbeete und ein Stadion befanden sich. Darüber hinaus hat der Abschnitt eine bestimmte Form - die Form eines Polygons.

Die Lösung für das Bildungsproblem.

(Forschungsbögen werden verteilt).

Vor dir steht eine Figur. Ruf sie an.

Finden Sie den Bereich des Polygons. Was ist dafür zu tun?

In Rechtecke teilen.

(Wenn es Schwierigkeiten gibt, wird es eine andere Frage geben: "Aus welchen Formen besteht das Polygon?").

Von zwei Rechtecken.

Verwenden Sie ein Lineal und einen Bleistift, um die Form in Rechtecke zu unterteilen. Beschriften Sie die resultierenden Teile mit den Nummern 1 und 2.

Finden Sie den Bereich der ersten Figur.

(Die Schüler schlagen die folgenden Lösungen vor und schreiben sie an die Tafel.)

1 Weg:

  • S1 = 5 & le; 2 = 10 cm 2
  • S2 = 5 & le; 1 = 5 cm 2

Wenn Sie den Bereich der Teile kennen, wie finden Sie den Bereich der gesamten Figur?

S = 10 + 5 = 15 cm²

2 wege:

  • S1 = 6 & le; 2 = 12 cm 2
  • S2 = 3? 1 = 3 cm 2
  • S = 12 + 3 = 15 cm².

Vergleichen Sie die Ergebnisse und ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Wir werden unsere Handlungen verfolgen

Wie haben Sie die Fläche des Polygons gefunden?

Der Algorithmus ist kompiliert und auf das Poster geschrieben:?

1. Teilen Sie die Figur in Teile

2. Ermitteln Sie die Fläche von Teilen dieser Polygone (S1, S2 ).

3. Ermitteln Sie die Fläche des gesamten Polygons (S1 + S 2 ).

(Mehrere Schüler sprechen den Algorithmus).

Wir haben zwei Wege gefunden, oder gibt es vielleicht noch mehr?

Und Sie können die Figur beenden.

Wie viele Rechtecke hast du bekommen?

Lassen Sie uns die Teile 1 und 2 bezeichnen. Wir nehmen Messungen vor.

Suchen Sie die Fläche jedes Teils des Polygons.

  • S1=6? 5 = 30 cm 2
  • S2= 5 & le; 3 = 15 cm 2

Wie finde ich die Fläche unseres Sechsecks?

S = 30-15 = 15 cm²

Fertige eine Figur zu einem Rechteck

Vergleichen Sie die beiden Algorithmen. Schlußfolgerung ziehen. Welche Aktionen sind gleich? Wohin gingen unsere Aktionen?

Augen schließen, Köpfe senken. Wiederholen Sie geistig den Algorithmus.

Wir haben recherchiert, verschiedene Methoden untersucht und jetzt können wir die Fläche jedes Polygons finden.

Hier sind die Polygone.

Finden Sie den Bereich einer Figur Ihrer Wahl, während Sie verschiedene Methoden anwenden können.

Die Arbeit wird selbständig erledigt. Kinder wählen eine Figur. Finden Sie einen Bereich auf eine der Arten. Verifizierungsschlüssel auf der Tafel.

Was ist mit dem Formular? (Die Form ist anders)

Und wie groß ist die Fläche dieser Polygone? (Die Flächen dieser Polygone sind gleich)

Wer hat Recht - setzen Sie "+".

Wer hat Zweifel, Schwierigkeiten - "?"

Berater helfen Kindern, suchen nach Fehlern, helfen bei der Behebung.

Stellen Sie Ihre Arbeitsblätter zusammen und berechnen Sie die Fläche des Polygons auf verschiedene Arten.

Also Jungs, was werden Sie Ihren Eltern sagen, wie Sie den Bereich einer geometrischen Figur finden - ein Polygon.

Ein bisschen Theorie über Polygone

Wenn Sie drei oder mehr Schnittlinien zeichnen, bilden diese eine bestimmte Figur. Sie ist ein Polygon. Anhand der Anzahl der Schnittpunkte wird deutlich, wie viele Eckpunkte er haben wird. Sie geben der resultierenden Figur den Namen. Das kann sein:

  • Dreieck
  • Viereck
  • Fünfeck oder Sechseck und so weiter.

Eine solche Figur wird sicherlich durch zwei Positionen gekennzeichnet sein:

  1. Benachbarte Seiten gehören nicht zu einer geraden Linie.
  2. Nicht benachbarte Punkte haben keine gemeinsamen Punkte, dh sie überschneiden sich nicht.

Um zu verstehen, welche Eckpunkte benachbart sind, müssen Sie prüfen, ob sie zu einer Seite gehören. Wenn ja, dann die Nachbarn. Andernfalls können sie durch ein Segment verbunden werden, das als Diagonale bezeichnet werden muss. Sie können nur in Polygonen mit mehr als drei Eckpunkten gezeichnet werden.

Welche Arten von ihnen gibt es?

Ein Polygon mit mehr als vier Winkeln kann konvex oder konkav sein. Der Unterschied zwischen letzterem besteht darin, dass einige seiner Eckpunkte auf gegenüberliegenden Seiten einer geraden Linie liegen können, die durch eine beliebige Seite des Polygons gezogen wird. Bei einer Konvexität liegen immer alle Eckpunkte auf einer Seite einer solchen Geraden.

In der Schule der Geometrie wird die meiste Zeit konvexen Figuren gewidmet. Daher ist es bei Problemen erforderlich, die Fläche eines konvexen Polygons herauszufinden. Dann gibt es eine Formel durch den Radius des umschriebenen Kreises, mit der Sie den gewünschten Wert für jede Figur finden können. In anderen Fällen gibt es keine eindeutige Lösung. Für ein Dreieck ist die Formel eins, für ein Quadrat oder ein Trapez jedoch völlig anders. In Situationen, in denen die Figur falsch ist oder es viele Eckpunkte gibt, ist es üblich, sie in einfache und vertraute zu trennen.

Über die Seite

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Polygons über eine Seite lautet:

<4cdot g (frac<180degree>) >> wo a - Seite des Polygons, n - die Anzahl der Seiten des Polygons.

Durch den Radius des Beschriftungskreises

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Polygons durch den Radius eines eingeschriebenen Kreises:

)> wo r - Radius des Beschriftungskreises, n - die Anzahl der Seiten des Polygons.

Durch den Radius des umschriebenen Kreises

Die Formel zum Finden der Fläche eines regelmäßigen Polygons durch den Radius des umschriebenen Kreises:

<2>cdot R^2 cdot n cdot sin (frac<360degree>)> wo R - Radius des umschriebenen Kreises, n - die Anzahl der Seiten des Polygons.

Was tun, wenn die Figur drei oder vier Eckpunkte hat?

Im ersten Fall stellt sich heraus, dass es sich um ein Dreieck handelt, und Sie können eine der folgenden Formeln verwenden:

  • S = 1/2 * a * n, wobei a die Seite ist, n die Höhe dazu ist,
  • S = 1/2 * a * b * sin (A), wobei a, b die Seiten des Dreiecks sind, A der Winkel zwischen den bekannten Seiten ist,
  • S = √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), wobei c die Seite des Dreiecks ist, zu den beiden bereits markierten, ist p der halbe Umfang, d. H. Die Summe aller drei Seiten, geteilt in zwei .

Eine Figur mit vier Eckpunkten kann sich als Parallelogramm herausstellen:

  • S = a * n,
  • S = 1/2 * d1 * d2 * sin (α), wobei d1 und d2 - Diagonalen, α ist der Winkel zwischen ihnen,
  • S = a * in * sin (α).

Die Formel für die Trapezfläche lautet: S = n * (a + b) / 2, wobei a und b die Längen der Basen sind.

Was tun mit einem regulären Polygon mit mehr als vier Eckpunkten?

Eine solche Figur zeichnet sich zunächst dadurch aus, dass darin alle Seiten gleich sind. Außerdem hat das Polygon die gleichen Winkel.

Wenn ein Kreis um eine solche Figur herum beschrieben wird, fällt sein Radius mit einem Segment von der Mitte des Polygons zu einem der Eckpunkte zusammen. Um die Fläche eines regelmäßigen Polygons mit einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten zu berechnen, benötigen wir daher die folgende Formel:

Sn = 1/2 * n * Rn 2 * sin (360º / n), wobei n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons ist.

Daraus ist es einfach, eine zu erhalten, die für spezielle Fälle nützlich ist:

  1. Dreieck: S = (3/3) / 4 * R 2,
  2. Quadrat: S = 2 * R 2,
  3. Sechseck: S = (3√3) / 2 * R 2.

Die Situation mit der falschen Figur

Die Ausgabe für die Ermittlung der Fläche eines Polygons, wenn diese nicht korrekt ist und keiner der zuvor bekannten Figuren zugeordnet werden kann, ist der Algorithmus:

  • brechen Sie es in einfache Formen, zum Beispiel Dreiecke, so dass sie sich nicht schneiden,
  • Berechnen Sie ihre Fläche mit einer Formel,
  • addiere alle Ergebnisse.

Was tun, wenn die Aufgabe die Koordinaten der Eckpunkte des Polygons angibt?

Das heißt, es ist ein Satz von Zahlenpaaren für jeden Punkt bekannt, die die Seiten der Figur begrenzen. Sie werden normalerweise als (x1y1) für das erste, (x2y2) - für den zweiten und den n-ten Eckpunkt hat solche Werte (xnyn) Dann wird die Fläche des Polygons als die Summe von n Termen bestimmt. Jeder von ihnen sieht folgendermaßen aus: ((yi + 1 + yich) / 2) * (xi + 1 - xich) In diesem Ausdruck variiert i von eins bis n.

Es ist anzumerken, dass das Vorzeichen des Ergebnisses von der Durchquerung der Figur abhängt. Bei Verwendung der angegebenen Formel und Bewegung im Uhrzeigersinn ist die Antwort negativ.

Aufgabenbeispiel

Zustand Die Scheitelpunktkoordinaten sind durch solche Werte (0,6, 2,1), (1,8, 3,6), (2,2, 2,3), (3,6, 2,4), (3,1, 0,5) gegeben. Es ist erforderlich, die Fläche des Polygons zu berechnen.

Lösung. Gemäß der oben angegebenen Formel ist der erste Term gleich (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Hier müssen Sie nur die Werte für das Spiel und X aus dem zweiten und ersten Punkt übernehmen. Eine einfache Berechnung führt zu einem Ergebnis von 1,8.

Der zweite Term wird auf ähnliche Weise erhalten: (2,2 + 1,8) / 2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Haben Sie bei der Lösung solcher Probleme keine Angst vor negativen Werten. Alles läuft wie es soll. Das ist systematisch.

Die Werte für den dritten (0,29), vierten (-6,365) und fünften Term (2,96) werden auf ähnliche Weise erhalten. Die Gesamtfläche beträgt dann: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Ratschläge zur Lösung eines Problems, für das ein Polygon in einer Zelle auf Papier abgebildet ist

Das Rätselhafteste ist, dass die Daten nur die Zellengröße enthalten. Es stellt sich jedoch heraus, dass keine weiteren Informationen benötigt werden. Eine Empfehlung zur Lösung dieses Problems besteht darin, die Figur in viele Dreiecke und Rechtecke zu unterteilen. Ihre Fläche lässt sich ganz einfach anhand der Seitenlängen berechnen, die sich dann leicht falten lassen.

Oft gibt es jedoch einen einfacheren Ansatz. Es besteht darin, eine Figur in ein Rechteck zu zeichnen und den Wert ihrer Fläche zu berechnen. Berechnen Sie dann die Fläche der Elemente, die sich als überflüssig herausgestellt haben. Subtrahieren Sie sie vom allgemeinen Wert. Diese Option beinhaltet manchmal eine etwas geringere Anzahl von Aktionen.

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